Botar al contingut principal

Servei de Publicacions Universidat d'Alicant

Segueix-nos a:

  • Facebook
  • Twitter

Navegació principal

Mecánica de medios continuos. Para ingenieros geólogos

Fragmento

TEMA 1.- DESCRIPCIÓN DE LAS TENSIONES

1.1.- Introducción a la mecánica del sólido deformable

Dentro del campo de la Física se desarrollan varias ramas, entre ellas la Mecánica de los Medios Continuos (a saber, sólidos y fluidos). La Mecánica de Fluidos es estudiada en otras asignaturas, de forma que este curso se restringirá al estudio de la Mecánica de Sólidos, y dentro de ella, a la de los Sólidos deformables, pues los Sólidos Rígidos ya son conocidos por el alumno, de cursos anteriores. En este curso, por razones temporales, nos limitamos, además, a la Estática de dichos sólidos, sin consideración de la variable tiempo, ni de las fuerzas de inercia que corresponden a variaciones rápidas de velocidad.

Esta rama de la Mecánica tiene sus orígenes en Galileo (s. XVI), y la Elasticidad que ocupará la primera parte del curso, en Hooke (s. XVII), habiéndose desarrollado en los s. XVIII y XIX, sobre todo; y conjuntamente con otras características de deformabilidad (plasticidad, fluencia, rotura) también en el reciente s. XX. El significado de estos términos de deformabilidad se precisará en los próximos capítulos.

Este primer tema se dedica a la presentación del modelo matemático que se utiliza para la descripción de las tensiones internas (es decir, los esfuerzos internos a nivel puntual) que cada porción de un sólido ejerce sobre el resto, en cada uno de sus puntos interiores. Estos esfuerzos internos “locales”, como podríamos calificar a las “tensiones” para diferenciarlas de los esfuerzos internos “globales” de toda una sección plana imaginaria del sólido, que el alumno conoce, tienen su origen en múltiples causas, siendo las más frecuentes, en el ámbito de la Ingeniería Geológica, las fuerzas de superficie (aplicadas en el contorno del sólido), por ejemplo las aplicadas sobre el estrato margoso de la figura 1.1, o las reacciones del estrato calizo sobre él; y las fuerzas de volumen (aplicadas en cada volumen elemental interno del sólido considerado), por ejemplo, las derivadas del campo gravitatorio. Otras fuentes de tensiones internas pueden ser las variaciones térmicas, la modificación química del sólido (cambios de densidad y volumen no homogéneos), etc. La consideración de las fuerzas de inercia y de fenómenos dinámicos, de interés en la propagación de ondas sísmicas, por ejemplo, está fuera del alcance de este curso.

1.2.- Concepto de tensión

Precisemos ahora el concepto de tensión esbozado en el párrafo precedente. Consideremos para ello un sólido (Fig. 1.2) de forma geométrica arbitraria, referida a unos ejes también arbitrarios, por el momento cartesianos y rectangulares; el sólido está sometido a la acción de fuerzas de superficie y de volumen, todas ellas en equilibrio.

Imaginemos también una sección plana por un punto P interior del sólido, dada por su normal unitaria con , que divide al mismo en dos subdominios geométricamente hablando. Cada uno de ellos está también en equilibrio, existiendo por tanto, en general, unas fuerzas distribuidas en la sección considerada que el otro subdominio ejerce sobre él (y viceversa, conforme al principio de acción y reacción). Estas fuerzas no tienen por qué ser de la misma dirección y módulo a lo largo y ancho de todos los puntos de la sección considerada, aunque es evidente que su resultante no será otra que los esfuerzos internos en tal sección, conforme los conoce el alumno (en relación con la orientación de la sección, esfuerzos axiles, cortantes, etc.).

Definimos así, para el punto P y la orientación , la TENSIÓN como:

                                (1.1)

que resulta ser un vector, de dimensiones FL-2 (fuerza dividida por superficie).

Queda así claro que la tensión en un punto puede venir dada por vectores diferentes para cada una de las infinitas orientaciones posibles; y, por tanto, que para definir completamente el estado tensional del punto no basta con un vector (es decir, con tres componentes escalares asociadas al sistema de referencia considerado), como para la representación de una velocidad o una aceleración, sino que se requiere una entidad matemática de orden superior.

1.3 Componentes cartesianas del tensor de tensiones. Lema de Cauchy

Veremos en este apartado que el estado tensional completo del punto P puede representarse matemáticamente mediante un tensor de 2º orden, representable por una matriz cuadrada de dimensiones 3x3 en general.

Para ello consideremos sobre el punto P del sólido en estudio otras 5 secciones planas paralelas todas ellas, dos a dos, a los planos coordenados, que configuran un entorno prismático infinitesimal del mismo punto. Sobre cada una de estas orientaciones quedará definido un vector tensión diferente, tal como se representa en la Fig. 1.3.

Sobre la misma se escriben las componentes de dichos vectores con la notación habitual. Sin embargo, las 3x3=9 componentes de las caras vistas en la figura (las otras 3x3 de las caras ocultas son iguales y opuestas conforme al principio de acción y reacción) no son independientes, ya que la consideración del equilibrio de momentos, respecto de ejes paralelos a los coordenados por P, requiere:

eje x

                                                                                                                   (1.2.a)

eje y ......................                                                                            (1.2.b)

eje z ......................                                                                            (1.2.c)

siendo sólo 6 de estas componentes independientes, habitualmente . Estas se denominan componentes cartesianas de las tensiones (por asociarse a unos ejes cartesianos) y veremos que son suficientes para describir completamente el estado tensional del punto.

En efecto, para ello sólo se requiere que el vector tensión en CUALQUIER orientación sea expresable en términos de aquéllas. Y esto resulta fácil si se establece el equilibrio de fuerzas sobre otro entorno del mismo punto con tres secciones por planos paralelos a los coordenados, y una cuarta por un plano de orientación cualquiera (Fig. 1.4):

eje x:

eje y:

eje z:

y simplificando el factor común dA, reordenando matricialmente:

(1.3)

Esta expresión, conocida como Lema de Cauchy, prueba que el tensor simétrico Tp es suficiente para describir completamente el estado tensional de dicho punto.

Salvo excepciones, los puntos interiores de los sólidos cargados presentan estados tensionales diferentes, es decir valores distintos de las 6 componentes del tensor de tensiones. Para el tratamiento algebraico del problema de su determinación, asumiremos la hipótesis fundamental de que tales componentes pueden expresarse como funciones continuas de la posición (xyz) de cada punto: etc., en todo el dominio geométrico que ocupa el sólido.

1.4.- Cambio del sistema de referencia

Se recuerda que, al igual que sucede con los vectores, las componentes de un estado tensional dado son diferentes si se refiere la geometría del sólido a unos ejes de referencia diferentes. Ello no significa que el vector o el estado tensional sean diferentes; ellos son únicos, pero sus componentes son diferentes según el “punto de vista”, es decir, según la orientación del sistema de referencia.

Si consideramos dos sistemas (xyz), (x’y’z’), se recordará (Fig. 1.5) que si las componentes de un vector en el primero son , las componentes del mismo en el segundo son:

              (1.4)

siendo C la matriz de cambio de ejes, ilustrada en la figura para un caso plano, cuyas filas son las componentes en el primer sistema de los vectores unitarios coordenados del segundo; una matriz que, si ambos son ortogonales, es también ortogonal:

C-1 = Ct                                   (1.5)

Ya que CtC es una matriz que contiene en cada término el producto escalar de parejas de vectores perpendiculares o paralelos entre sí, y entonces:

Para las componentes del tensor de tensiones tendremos, en ambos sistemas de referencia:

pero introduciendo las coordenadas en el 2º a partir de sus valores en el 1º:

y premultiplicando la última ecuación por Ct=C-1:

luego:

              (1.6)

expresión que permite obtener las componentes en el segundo sistema a partir de las referidas al primero, análogamente a (1.4) para los vectores.

Mecánica de medios continuos. Para ingenieros geólogos

Detalls del llibre